miércoles, 9 de noviembre de 2011
La comprensión del enunciado: paso inicial para resolver problemas de Matemáticas con los softwares del Proyecto Galileo
Por: M. C. Arturo Vázquez Córdova
avcordova2000@yahoo.com
Resumen
En el presente trabajo se presenta una reflexión acerca de la importancia de la comprensión lectora del enunciado de un problema de Matemáticas, tomando como marco de referencia el modelo de Polya para la resolución de problemas en un contexto real, como estrategia para el aprendizaje significativo de los estudiantes de Educación Media Superior aplicando la tecnología digital en el aula.
El método complementario de la propuesta didáctica se basa en la mayéutica o método socrático, generando preguntas guías que acompañan al estudiante en la interpretación de significados del enunciado del problema, a efecto de identificar la incógnita, datos, la condición, enunciar el problema de una forma diferente, el reconocimiento de las palabras o conceptos clave, es decir, el estudiante debe leer comprendiendo para aprender.
Reviste importancia, porque es una estrategia didáctica fundamentada en las competencias genéricas y disciplinares, que orientan al estudiante en el desempeño académico.
Es innovador el método de aprendizaje, por convertir el espacio áulico en laboratorio virtual de Matemáticas utilizando el programa Laboratorio de funciones, herramienta para el análisis y visualización de funciones Matemáticas en el plano y en 3D. Además el Modelador geométrico es una poderosa herramienta digital que actúa como un simulador virtual ya que permite modelar objetos geométricos de una manera fácil y divertida.
Con ello se alcanza el logro matemático al aplicar la competencia lectora o alfabetización matemática.
Palabras clave: Comprensión, enunciado, resolución, matemáticas, Polya.
Introducción
En el documento que se presenta, los autores proponen que los estudiantes de la Educación Media Superior desarrollen la competencia de la comprensión lectora de los enunciados de los problemas propuestos de Matemáticas en un contexto real.
Tiene como objetivo que los estudiantes sean capaces de adquirir la habilidad para comprender, emplear información y reflexionar a partir de enunciados de problemas, aplicando el método de Polya y resolverlos en un contexto real.
El Método de Polya o estrategia para resolver problemas de Matemáticas se centra en la regla de los cuatro pasos:
I. Comprender el problema
II. Concebir un plan
III. Ejecución del plan
IV. Examinar la solución obtenida
Los resultados obtenidos de diversos estudios realizados han permitido determinar las dificultades de los estudiantes al resolver problemas. Entre ellas se puede mencionar las siguientes:
•Dificultad para darle significados a la lectura del enunciado del problema.
•Incapacidad para identificar los datos, incógnitas, condiciones del problema, palabras o conceptos clave.
•Reescribir el enunciado en otra forma entendible.
•Dificultad para encontrar los datos intermedios, no explícitos en el enunciado del problema.
•Desconocimiento de las etapas y de los pasos generales que se pueden seguir para resolver un problema.
En la dimensión Proceso del dominio de la lectura de la Prueba PISA, los estudiantes demuestran su capacidad para la recuperación de información específica, interpretación de textos reflexión y evaluación de éstos. INEE (2005, pp.17-18)
Por su parte, Díaz-Barriga (2002, p. 275) afirma que
En su obra, Pozo (1994, p. 12) propone que
En ese sentido, se propone la alfabetización matemática a partir de la comprensión del enunciado del problema propuesto, para desarrollar las competencias genéricas específicas y disciplinares de Matemáticas para el logro o desempeño eficiente en la resolución de problemas de la EMS.
Desarrollo
¿Qué es un problema?
Por su parte, Fridman (1995, 13) en su obra afirma que “es alguna exigencia, requerimiento o pregunta para lo cual se necesita encontrar la respuesta, apoyándose en y tomando en cuenta las condiciones señaladas en el problema.”
En ese sentido, un problema es una situación con dificultad para resolverlo que requiere una respuesta al requerimiento formulado en el enunciado del problema. Luego entonces, el problema se estructura en dos elementos: las condiciones y los requerimientos. Por eso, cuando se va a resolver un problema se debe prestar especial atención a los requerimientos (preguntas) y condiciones (afirmaciones) a partir del cual se va a resolver el problema, esto recibe el nombre de análisis del problema. Por tanto, resolver un problema significa encontrar la respuesta al mismo.
En nuestra propuesta didáctica, utilizaremos como estrategia para la resolución de problemas el modelo de George Polya. Para resolver un problema se necesita:
I.Comprender el problema
II.Concebir un plan
a.Determinar la relación entre los datos y la incógnita.
b.De no encontrarse una relación inmediata puede considerar problemas auxiliares.
c.Obtener finalmente un plan de solución.
III.Ejecución del plan.
IV.Examinar la solución obtenida.
El proceso de solución de un problema se inicia necesariamente con una adecuada comprensión de la situación-problema, como lo afirma Polya (1965, pp. 17-19) en su obra. Por esta razón el docente debe focalizar su atención a que el enunciado del problema está siendo verdaderamente entendido por el alumno haciendo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? suficiente para determinar la incógnita? ¿Es suficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?
Situación problemática
Un diseñador industrial desea construir una copa para vino tinto que se utiliza en las fiestas de etiqueta social. La información básica de la copa incluye que tiene una altura de 22cm. de los cuales 10 cm. corresponden al tallo y 12 cm. al bulbo; el diámetro es más ancho en su base (8.5cm) que en su borde (6.5cm) y la altura interior va desde 9cm. hasta 11cm. en lo más profundo. Se midió su volumen resultando 440ml.
Solución
I.Comprender el problema
Reformulación del problema
En el problema se pide el diseño de un recipiente de forma irregular donde se requiere calcular su volumen por integración gráfica usando el laboratorio de funciones y construir un prototipo con el modelador geométrico, con los datos conocidos.
Datos
Altura hT = 22 cm
Altura del tallo ht = 10 cm
Altura del bulbo hb = 12 cm
Diámetro de la base d1 = 8.5 cm
Diámetro del borde d2 = 6.5 cm
Altura interior h1 = 9 cm
h2 = 11 cm
Volumen V = 440 ml
Hallar:
X = Objeto geométrico en 3D
Condición:
El diseño debe ser un objeto geométrico en 3D con los datos conocidos de una copa de vino utilizando el Laboratorio de Funciones y el Modelador Geométrico.
Escritura esquemática del problema
II.Concebir un plan.
Procedimiento
1. Seleccione un recipiente que encuentre en su entorno y cuyo volumen deba ser calculado mediante integración gráfica, utilizando el concepto de que el volumen de un sólido de revolución es el límite de la sumatoria de los volúmenes de discos delgados del sólido.
2. Efectué los cálculos necesarios para comprobar que el recipiente está fabricado o no con criterios de optimización del material requerido para su construcción.
3. Utilizando el laboratorio de funciones, determine cuál es la o las funciones matemáticas de las curvas implicadas en la solución del problema, obteniendo por integración “grafica” la o las áreas motivo de este problema.
4. Realice doble integración haciendo girar el área bajo la curva obtenida en cada caso; el giro deberá completar una revolución completa.
5. Realice los ajustes necesarios en las funciones generadoras de las curvas, hasta obtener resultados óptimos.
6. Con la información obtenida en el punto anterior, utilice el modelador geométrico para diseñar de una manera más objetiva, el prototipo del modelo que es la solución del problema.
III.Ejecución del plan
En este punto comprobaremos si el recipiente esta optimizado en cuento al material requerido para su construcción y el volumen alcanzado.
Como el recipiente tiene forma irregular, se diseña un cilindro que tiene las dimensiones promedio del recipiente original resultando un que tiene 3.75 cm de radio en la base y 10 cm de altura.
rprom = ( (d1 / 2) + ( d2 / 2) ) / 2 = ( ( 8.5 / 2) + ( 7.5 / 2) ) = 3.75
hprom. = (h1 + h2 ) / 2 = ( 9 + 11) / 2 = 20 / 2 = 10
Se sabe que el material para construir un cilindro es el que usara la tapa y el que usara la evolvente; así:
Atot= Abase + Aevolvente = ¶ r2 + 2¶ r h
Pero el área total debe estar en función de r y así:
Vol= ¶ r2 h :. h = Vol / ¶ r2 = 440 / ¶ r2
Sustituyendo esto en la anterior:
Atot = ¶ r2 + 2 ¶ r(440) / ¶ r2 = ¶ r2 + 880 /r
Para obtener el mínimo de esta función procederemos a derivarla e igualarla a cero para obtener el radio mínimo.
d Atot = d (¶ r2 + 880 /r ) = 2¶ r -880 / r2 = 2 ¶ r3 - 880 = 0
dr dr
r = 5.2 h = 440 / ¶ r2 = 440 / ¶ (5.2)2 = 5.2
IV.Examinar la solución obtenida.
Comparando estos resultados con las dimensiones originales se observa claramente que son muy diferentes por lo que se concluye que una copa de cristal no se construye con criterios de economía en el uso de los materiales, sino más bien están diseñadas para su funcionalidad y comodidad siendo esto privilegiar el criterio ergonómico.
Conclusión
Los autores concluyen que la comprensión del enunciado del problema matemático, es el paso inicial de la resolución poniendo en juego las habilidades cognitivas y conocimientos para construir el objeto geométrico en 3D utilizando la tecnología digital en el aula para obtener desempeños académicos eficientes por parte del estudiante.
Se recomienda que los docentes del área de Matemáticas de los CBTis y CETis de la República Mexicana pongan en práctica el paso 1del modelo de Polya, para que el estudiante indague e identifique las condiciones y requerimientos del problema propuesto.
Referencias bibliográficas
Fridman, L. M. (1995). Capítulo 1 Las partes integrantes de un problema. ¿Qué es un problema? Las condiciones y requerimientos de un problema. En: Metodología para resolver problemas de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, pp. 13-14.
Díaz-Barriga Arceo, F. y Hernández Rojas, G. (2002). Estrategias docentes para un aprendizaje significativo, una interpretación constructivista. McGraw-Hill, p. 175.
Martínez Rizo, F. (2005). PISA para docentes. La evaluación como oportunidad de aprendizaje. INEE, México, pp. 17-18.
Polya, G. (1965). Como plantear y resolver problemas. Reimp. 2001, Editorial Trillas, México, pp. 17-19.
Pozo, J. I. (1994). La solución de problemas. Editorial Santillana, Madrid, p, 12.
Software
Laboratorio de funciones, Proyecto Galileo
Modelador Geométrico, Proyecto Galileo
Sitio web
Laboratorio de funciones
URL: http://www.clubgalileo.com.mx/portal/index.php/mate/labfunciones
Modelador geométrico
URL: http://www.clubgalileo.com.mx/portal/index.php/mate/modgeometrico
avcordova2000@yahoo.com
Resumen
En el presente trabajo se presenta una reflexión acerca de la importancia de la comprensión lectora del enunciado de un problema de Matemáticas, tomando como marco de referencia el modelo de Polya para la resolución de problemas en un contexto real, como estrategia para el aprendizaje significativo de los estudiantes de Educación Media Superior aplicando la tecnología digital en el aula.
El método complementario de la propuesta didáctica se basa en la mayéutica o método socrático, generando preguntas guías que acompañan al estudiante en la interpretación de significados del enunciado del problema, a efecto de identificar la incógnita, datos, la condición, enunciar el problema de una forma diferente, el reconocimiento de las palabras o conceptos clave, es decir, el estudiante debe leer comprendiendo para aprender.
Reviste importancia, porque es una estrategia didáctica fundamentada en las competencias genéricas y disciplinares, que orientan al estudiante en el desempeño académico.
Es innovador el método de aprendizaje, por convertir el espacio áulico en laboratorio virtual de Matemáticas utilizando el programa Laboratorio de funciones, herramienta para el análisis y visualización de funciones Matemáticas en el plano y en 3D. Además el Modelador geométrico es una poderosa herramienta digital que actúa como un simulador virtual ya que permite modelar objetos geométricos de una manera fácil y divertida.
Con ello se alcanza el logro matemático al aplicar la competencia lectora o alfabetización matemática.
Palabras clave: Comprensión, enunciado, resolución, matemáticas, Polya.
Introducción
“El problema es una tarea que es difícil para
el individuo que está tratando de hacerla.”
Schoenfeld
En el documento que se presenta, los autores proponen que los estudiantes de la Educación Media Superior desarrollen la competencia de la comprensión lectora de los enunciados de los problemas propuestos de Matemáticas en un contexto real.
Tiene como objetivo que los estudiantes sean capaces de adquirir la habilidad para comprender, emplear información y reflexionar a partir de enunciados de problemas, aplicando el método de Polya y resolverlos en un contexto real.
El Método de Polya o estrategia para resolver problemas de Matemáticas se centra en la regla de los cuatro pasos:
I. Comprender el problema
II. Concebir un plan
III. Ejecución del plan
IV. Examinar la solución obtenida
Los resultados obtenidos de diversos estudios realizados han permitido determinar las dificultades de los estudiantes al resolver problemas. Entre ellas se puede mencionar las siguientes:
•Dificultad para darle significados a la lectura del enunciado del problema.
•Incapacidad para identificar los datos, incógnitas, condiciones del problema, palabras o conceptos clave.
•Reescribir el enunciado en otra forma entendible.
•Dificultad para encontrar los datos intermedios, no explícitos en el enunciado del problema.
•Desconocimiento de las etapas y de los pasos generales que se pueden seguir para resolver un problema.
En la dimensión Proceso del dominio de la lectura de la Prueba PISA, los estudiantes demuestran su capacidad para la recuperación de información específica, interpretación de textos reflexión y evaluación de éstos. INEE (2005, pp.17-18)
Por su parte, Díaz-Barriga (2002, p. 275) afirma que
“la comprensión de textos es una actividad constructiva compleja de carácter estratégico, que implica la interacción entre las características del lector y del texto dentro de un contexto determinado.”
En su obra, Pozo (1994, p. 12) propone que
“para solucionar un problema es necesario interpretar la información obtenida del enunciado del problema, codificarla o traducirla a un nuevo código o lenguaje con que el alumno esté familiarizado y con el que pueda conectar esa nueva información recibida.”
En ese sentido, se propone la alfabetización matemática a partir de la comprensión del enunciado del problema propuesto, para desarrollar las competencias genéricas específicas y disciplinares de Matemáticas para el logro o desempeño eficiente en la resolución de problemas de la EMS.
Desarrollo
¿Qué es un problema?
Por su parte, Fridman (1995, 13) en su obra afirma que “es alguna exigencia, requerimiento o pregunta para lo cual se necesita encontrar la respuesta, apoyándose en y tomando en cuenta las condiciones señaladas en el problema.”
En ese sentido, un problema es una situación con dificultad para resolverlo que requiere una respuesta al requerimiento formulado en el enunciado del problema. Luego entonces, el problema se estructura en dos elementos: las condiciones y los requerimientos. Por eso, cuando se va a resolver un problema se debe prestar especial atención a los requerimientos (preguntas) y condiciones (afirmaciones) a partir del cual se va a resolver el problema, esto recibe el nombre de análisis del problema. Por tanto, resolver un problema significa encontrar la respuesta al mismo.
En nuestra propuesta didáctica, utilizaremos como estrategia para la resolución de problemas el modelo de George Polya. Para resolver un problema se necesita:
I.Comprender el problema
II.Concebir un plan
a.Determinar la relación entre los datos y la incógnita.
b.De no encontrarse una relación inmediata puede considerar problemas auxiliares.
c.Obtener finalmente un plan de solución.
III.Ejecución del plan.
IV.Examinar la solución obtenida.
El proceso de solución de un problema se inicia necesariamente con una adecuada comprensión de la situación-problema, como lo afirma Polya (1965, pp. 17-19) en su obra. Por esta razón el docente debe focalizar su atención a que el enunciado del problema está siendo verdaderamente entendido por el alumno haciendo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? suficiente para determinar la incógnita? ¿Es suficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?
Situación problemática
Un diseñador industrial desea construir una copa para vino tinto que se utiliza en las fiestas de etiqueta social. La información básica de la copa incluye que tiene una altura de 22cm. de los cuales 10 cm. corresponden al tallo y 12 cm. al bulbo; el diámetro es más ancho en su base (8.5cm) que en su borde (6.5cm) y la altura interior va desde 9cm. hasta 11cm. en lo más profundo. Se midió su volumen resultando 440ml.
Solución
I.Comprender el problema
Reformulación del problema
En el problema se pide el diseño de un recipiente de forma irregular donde se requiere calcular su volumen por integración gráfica usando el laboratorio de funciones y construir un prototipo con el modelador geométrico, con los datos conocidos.
Datos
Altura hT = 22 cm
Altura del tallo ht = 10 cm
Altura del bulbo hb = 12 cm
Diámetro de la base d1 = 8.5 cm
Diámetro del borde d2 = 6.5 cm
Altura interior h1 = 9 cm
h2 = 11 cm
Volumen V = 440 ml
Hallar:
X = Objeto geométrico en 3D
Condición:
El diseño debe ser un objeto geométrico en 3D con los datos conocidos de una copa de vino utilizando el Laboratorio de Funciones y el Modelador Geométrico.
Escritura esquemática del problema
II.Concebir un plan.
Procedimiento
1. Seleccione un recipiente que encuentre en su entorno y cuyo volumen deba ser calculado mediante integración gráfica, utilizando el concepto de que el volumen de un sólido de revolución es el límite de la sumatoria de los volúmenes de discos delgados del sólido.
2. Efectué los cálculos necesarios para comprobar que el recipiente está fabricado o no con criterios de optimización del material requerido para su construcción.
3. Utilizando el laboratorio de funciones, determine cuál es la o las funciones matemáticas de las curvas implicadas en la solución del problema, obteniendo por integración “grafica” la o las áreas motivo de este problema.
4. Realice doble integración haciendo girar el área bajo la curva obtenida en cada caso; el giro deberá completar una revolución completa.
5. Realice los ajustes necesarios en las funciones generadoras de las curvas, hasta obtener resultados óptimos.
6. Con la información obtenida en el punto anterior, utilice el modelador geométrico para diseñar de una manera más objetiva, el prototipo del modelo que es la solución del problema.
III.Ejecución del plan
En este punto comprobaremos si el recipiente esta optimizado en cuento al material requerido para su construcción y el volumen alcanzado.
Como el recipiente tiene forma irregular, se diseña un cilindro que tiene las dimensiones promedio del recipiente original resultando un que tiene 3.75 cm de radio en la base y 10 cm de altura.
rprom = ( (d1 / 2) + ( d2 / 2) ) / 2 = ( ( 8.5 / 2) + ( 7.5 / 2) ) = 3.75
hprom. = (h1 + h2 ) / 2 = ( 9 + 11) / 2 = 20 / 2 = 10
Se sabe que el material para construir un cilindro es el que usara la tapa y el que usara la evolvente; así:
Atot= Abase + Aevolvente = ¶ r2 + 2¶ r h
Pero el área total debe estar en función de r y así:
Vol= ¶ r2 h :. h = Vol / ¶ r2 = 440 / ¶ r2
Sustituyendo esto en la anterior:
Atot = ¶ r2 + 2 ¶ r(440) / ¶ r2 = ¶ r2 + 880 /r
Para obtener el mínimo de esta función procederemos a derivarla e igualarla a cero para obtener el radio mínimo.
d Atot = d (¶ r2 + 880 /r ) = 2¶ r -880 / r2 = 2 ¶ r3 - 880 = 0
dr dr
r = 5.2 h = 440 / ¶ r2 = 440 / ¶ (5.2)2 = 5.2
IV.Examinar la solución obtenida.
Comparando estos resultados con las dimensiones originales se observa claramente que son muy diferentes por lo que se concluye que una copa de cristal no se construye con criterios de economía en el uso de los materiales, sino más bien están diseñadas para su funcionalidad y comodidad siendo esto privilegiar el criterio ergonómico.
Conclusión
Los autores concluyen que la comprensión del enunciado del problema matemático, es el paso inicial de la resolución poniendo en juego las habilidades cognitivas y conocimientos para construir el objeto geométrico en 3D utilizando la tecnología digital en el aula para obtener desempeños académicos eficientes por parte del estudiante.
Se recomienda que los docentes del área de Matemáticas de los CBTis y CETis de la República Mexicana pongan en práctica el paso 1del modelo de Polya, para que el estudiante indague e identifique las condiciones y requerimientos del problema propuesto.
Referencias bibliográficas
Fridman, L. M. (1995). Capítulo 1 Las partes integrantes de un problema. ¿Qué es un problema? Las condiciones y requerimientos de un problema. En: Metodología para resolver problemas de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, pp. 13-14.
Díaz-Barriga Arceo, F. y Hernández Rojas, G. (2002). Estrategias docentes para un aprendizaje significativo, una interpretación constructivista. McGraw-Hill, p. 175.
Martínez Rizo, F. (2005). PISA para docentes. La evaluación como oportunidad de aprendizaje. INEE, México, pp. 17-18.
Polya, G. (1965). Como plantear y resolver problemas. Reimp. 2001, Editorial Trillas, México, pp. 17-19.
Pozo, J. I. (1994). La solución de problemas. Editorial Santillana, Madrid, p, 12.
Software
Laboratorio de funciones, Proyecto Galileo
Modelador Geométrico, Proyecto Galileo
Sitio web
Laboratorio de funciones
URL: http://www.clubgalileo.com.mx/portal/index.php/mate/labfunciones
Modelador geométrico
URL: http://www.clubgalileo.com.mx/portal/index.php/mate/modgeometrico
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